Erzeugende Funktion

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter der erzeugenden Funktion einer Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ die formale Potenzreihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$.

Zum Beispiel ist die erzeugende Funktion der konstanten Folge ${\displaystyle 1,1,1,\ldots }$ die geometrische Reihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=1z^{0}+1z^{1}+1z^{2}+\ldots }$

Die Reihe konvergiert für alle ${\displaystyle |z|<1}$ und besitzt den Wert

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-z}}}$.

Wegen der Verwendung formaler Potenzreihen spielen allerdings im Allgemeinen Konvergenzfragen keine Rolle – ${\displaystyle z}$ ist lediglich ein Symbol. Diese explizitere Darstellung als Potenzreihe ermöglicht oft Rückschlüsse auf die Folge.